Математичні основи обчислення тарифних ставок

Поняття випадкової величини. Страхування виникає там, де існують явища і процеси випадкової природи. Тому біль­шість величин, що розглядаються у страхуванні, є випадкови­ми величинами. З математичного погляду випадкова величина — це змінна, яка може набувати певних значень з певною ймовір­ністю.

Випадкова величина повністю описується своєю функцією розподілу. Функцією розподілу випадкової величини ξ, (або інте­гральною функцією) називається функція, яка кожному числу х ставить у відповідність імовірність того, що ξ, набуде значення, меншого за х:

.

Функція Fξ(x) визначена при всіх значеннях аргументу x і має такі властивості:

;

якщо х<у,то Fξ(x)Fξ(y);

Fξ(+∞) = l;

Fξ(+∞)= 0;

P{aξb}=Fξ(b)-Fξ(a).

Серед випадкових величин можна виокремити два основні ти­пи — дискретні та абсолютно неперервні.

Дискретною називається випадкова величина, яка може на­бувати скінченної або зліченної множини значень. Дискретними є, наприклад, такі величини: кількість позовів (страхових випадків) у поточному році кількість договорів, що їх буде укладено страховиком.

Якщо функцію розподілу Fξ(x) випадкової величини ξ можна

подати у вигляді

,

де рξ(х) — деяка невід'ємна функція, то випадкова величина ξ називається абсолютно неперервною, а функція рξ(х) — щільні­стю розподілу випадкової величини ξ. Абсолютно неперервни­ми можна вважати, наприклад, розмір майбутніх прибутків стра­ховика, а також тривалість очікування між двома послідовними страховими випадками.

Числові характеристики випадкових величин. У страховій практиці, як правило, нас цікавлять не самі випадкові величини, а деякі їх числові макрохарактеристики. Найважливішими з них є математичне сподівання та дисперсія.

Математичне сподівання (його називають також середнім, або сподіваним, значенням) — це середньозважене за ймовірніс­тю значення випадкової величини. Для дискретних випадкових величин математичне сподівання обчислюється з формулою:

М[ξ]=,

де хі — значення, яких набуває випадкова величина; рі — ймовір­ності їх реалізації. Для абсолютно неперервних випадкових вели­чин математичне сподівання подається так:

Μ[ξ]=,

де рξ — щільність випадкової величини ξ. Якщо випадкова вели­чина невід'ємна (0 ξ), математичне сподівання можна обчисли­ти за формулою:

Μ[ξ]=.

Для будь-яких сталих a, b та випадкових величин ξ, ζ виконуються такі властивості математичного сподівання:

М[а] = а;

М[bξ] = bΜ[ξ];

M[ξ + ζ]=Μ[ζ]+Μ[ξ].

Дисперсія характеризує відхилення випадкової величини ξ від її середнього значення й обчислюється як математичне сподіван­ня квадрата відхилення цієї величини від й математичного споді­вання:

.

Дисперсія задовольняє такі співвідношення:

;

;

;

,

де а, b — довільні сталі; ξ, — випадкова величина. Якщо випад­кова величина невід'ємна, дисперсію можна обчислити за фор­мулою.

Поряд з дисперсією часто використовують похідні поняття — стандартне відхилення та коефіцієнт варіації. Стандартним, або середньоквадратичним, відхиленням називають корінь ква­дратний із дисперсії:

Відношення стандартного відхилення випадкової величини ξ, до модуля математичного сподівання називається коефіцієнтом варіації.

.

Для випадкової величини ξ, квантилем рівня а (або α-квантилем) називається величина ta, яка при заданому значенні довір­чої ймовірності α є коренем рівняння

.

Незалежність випадкових величин. Випадкові величини ξ та ζ називаються незалежними, якщо за відомим значенням ве­личини ξ, не можна зробити жодних висновків стосовно значення ζ, і навпаки, значення ζ ніяк не впливає на обізнаність із величиною ξ. Формально випадкові величини ξ та ζ називаються неза­лежними, якщо при будь-яких значеннях а та b імовірність події р{ξ<а, ζ< b} є добутком імовірностей подій р{ξ<а}та Р{ζ<b}:

Якщо випадкові величини не задовольняють наведену щойно умову, то вони називаються залежними. Прикладом залежних випадкових величин є кількість позовів та сумарний розмір ви­плат. Відсутність позовів означає відсутність виплат. Нехай η— кількість позовів (кількість виплат) у поточному році, ξ — відпо­відна сума виплат у страховика. Нехай з імовірністю 10 % протя­гом року виплат у страховика немає Цей факт можна записати кількома способами:

Отже, Р{η<1, ξ<1 грн}>Р{ξ<1 грн}Р{η<1}. Це означає, що ви­падкові величини η і ξ, залежні. Незалежними випадковими вели­чинами можуть вважатись, наприклад, кількості позовів з різних видів страхування.

Наведемо дві важливі властивості. Якщо випадкові величини ξ та ζ незалежні, то для них виконуються такі співвідношення:

Статистичні оцінки. Часто ми не маємо інформації про ре­альний розподіл випадкової величини ξ, але маємо деяку сукуп­ність спостережень, у результаті яких вона набуває значень х1, х2, х3, ., хn. Ця сукупність значень називається вибіркою, а величини

і

відповідно вибірковим (емпіричним) середнім та незсуненою вибірковою (емпіричною) дисперсією. Вибіркове середнє вико­ристовують для оцінювання математичного сподівання:

,

незсунена вибіркова дисперсія є оцінкою дисперсії випадкової

величини:

Принципи обчислення тарифних ставок. В актуарній прак­тиці використовуються найрізноманітніші методи обчислення та­рифних ставок. Усі вони базуються на принципі еквівалентності фінансових зобов'язань страхувальника і страховика. Але пара­докс полягає в тому, що не існує єдиного погляду на те, як тлу­мачити цей загальновизнаний принцип страхування. Розглянемо найпоширеніші підходи до трактування принципу еквівалентності.

Еквівалентність фінансових зобов'язань як еквівалент­ність сподіваних значень. Зобов'язання страхувальників поля­гають у сплаті страхових премій. Зобов'язання страховика опла­чувати позови страхувальника. Нехай р означає суму зібраних страховиком премій, Х—сумарні виплати страховика. Природно вважати, що справедливою платою за ризик страховика є споді­ване (середнє) значення випадкової величини X:

У такому вигляді принцип еквівалентності доволі часто вико­ристовується у страхуванні життя та деяких інших галузях масо­вого страхування.

Еквівалентність зобов'язань з погляду теорії розорення.

Зобов'язання страхувальників мають безумовний характер. Ку­пуючи поліс, страхувальник звільняє себе від ризику несподіва­них витрат. Витрати страховика, навпаки, непередбачувані. Страховик бере на себе ризик, який полягає в тому, що його ви­плати будуть значно більші за М[Х]. Тому страховик вправі вима­гати додаткової плати за можливі збитки — ризикову надбавку L, із цього погляду справджується співвідношення:

Постає запитання: якими мають бути розміри ризикової над­бавки L та страхової премії р? Щоб відповісти на нього, доцільно звернутися до теорії розорення.

Факт розорення страховика описується співвідношенням U + р < X, де U — розмір власних коштів страховика. Відповідно ймовірність розорення дорівнює Р{U + р < X}.

Отже, якщо страховик намагається досягнути ймовірності ро­зорення α, то він має забезпечити розмір страхових премій р та­ким, щоб виконувалося співвідношення: Р{U + р < X}= α.

Таке розуміння принципу еквівалентності є найпоширенішим у сьогоденній практиці. Основним недоліком цього підходу є до­сить висока абстрактність поняття «ймовірність розорення». Яка ймовірність розорення страховика вважається достатньою — 10, 1 чи 0,1 %? На це запитання дуже важко дати аргументовану від­повідь. Зменшення ймовірності розорення з 2 до 0,2 % для стра­ховика не має принципового значення, хоча може призвести до необхідності збільшити ризикову надбавку в півтора раза.

Принцип еквівалентності зобов'язань у термінах теорії розо­рення має математично обгрунтовану форму, але застосування його в актуарній практиці може призводити до значних коливань розрахункових значень.

Еквівалентність зобов'язань з погляду теорії корисності. Нині дедалі популярнішим стає підхід до формалізації принципу еквівалентності фінансових зобов'язань страхувальника і страхо­вика, що грунтується на теорії корисності.

Основним поняттям цієї теорії є функція корисності. Функ­цією корисності називають функцію u(х), яка має такі властивості:

функція й зростаюча — u(х) > u(у) при х > у;

функція й задовольняє нерівність Єнсена М[u(х)]<u(М[х]);

функція й задовольняє умову нульової корисності u(о)=0.

Функція корисності визначає ступінь важливості для страхо­вика певних грошових сум. Вона має суб'єктивний характер, включаючи психологічний компонент.

За допомогою функції корисності принцип еквівалентності можна записати так:

Отже, сподівана корисність капіталу страховика після прийняття ризиків не повинна зменшитися порівняно з корисністю початково­го капіталу. На практиці часто застосовують експоненціальну u(х)=1–е–ах та квадратичну u(х) = ах-х2 функції корисності.

Головна проблема при практичному використанні принципу еквівалентності в термінах теорії корисності — відшукання адек­ватної функції корисності.