Диференціюючи, отримаємо:
.
Інтегруючи по частинах, знайдем:
або
Інтегруючи це диференціальне рівняння, отримаєм:
. (16)
Знайдем постійну С. З (15) слідує:
Отже, в рівності (16) має бути
.
Тоді,
. (17)
Значення (17) інтеграла (15) підставляємо у (13)
.
Підставляючи замість b його вираз (14), отримаємо кінцеве значення інтеграла (13):
. (18)
Підставивши цей вираз інтеграла у рішення (12), отримаємо:
. (19)
Ця формула, інтеграл Пуассона, представляє собою рішення поставленої задачі.
Встановимо фізичний зміст формули (19). Розглянемо функцію
0 при -¥<x<x0,
j*(х)= j(x) при x0£x£x0+Dx, (20)
0 при x0+Dx<x<¥.
Тоді функція
(21)
є рішенням рівняння (1), що приймає при t=0 значення j*(х). Приймаючи до уваги (20), ми можемо записати:
.
Примінем теорему про середнє до останього інтегралу, отримаємо:
. (22)
Формула (22) дає значення температури в точці стержня в довільний момент часу, якщо при t=0 в усьому стержні температура u*=0, крім відрізка [x0,x0+Dx], де вона рівна j(х). Сума температур виду (22) і дає рішення (19). Замітимо, що якщо r - лінійна густина стержня, с – темплоємність матеріала, то кількість тепла в елементі [x0,x0+Dx] при t=0 буде
DQ»j(x)Dxrc. (23)
Розглянемо далі функцію
. (24)
зрівнюючи її з правою частиною формули (22) з урахуванням (23), говорять, що вона дає значення температур в любій точці стержня в довільний момент часу t, якщо при t=0 в січній x було миттєве джерело теплоти з кількістю тепла Q=cr.
Тема: Рішення задачі Діріхле для кола.
Нехай в площині 0ху є коло радіусом R з центром на початку координат і на його окружності задана деяка функція f(j), де j - полярний кут. Потрібно знайти функцію u(r,j), непреривну в колі, включаючи границю, задовільняючу всередині кола рівнянню Лапласа
. (1)
і на окружності кола що приймає задані значення
. (2)
Будем рішати задачу в полярних координатах. Перепишемо рівняння (1) в цих координатах:
(1¢)
Будем шукати рішення методом розділення змінних, покладаючи
U=Ф(j)R(r). (3)
Підставляючи в ріність (1’), вийде:
r2Ф(j)R¢¢(r)+rФ(j)R¢(r)+Ф¢¢(j)R(r)=0
або
. (4)
Так як ліва частина цієї рівності не залежить від r, а права від j, отже, вони рівні постійному числу, яке ми позначаємо через –k2. Таким чином рівність (4) дає нам два рівняння:
Ф¢¢(j)+k2Ф(j)=0, (5)
r2R¢¢(r)+rR¢(r)-k2R(r)=0 (5¢)
Загальне рішення рівності (5) буде
Ф=Аcoskj+Bsinkj. (6)
Рішення рівняння (5¢) будем шукати у формі R(r)=rm. Підставляючи R(r)=rm у (5¢), дістанемо:
r2m(m-1)rm-1-k2rm=0
або
m2-k2=0.
Отже, маємо два лінійно незалежних рішення rk і r-k. Загальне рішення рівняння (5¢) буде
R=Crk+Dr-k. (7)
Вираз (6) і (7) підставляємо у (3):
Uk=(Akcoskj+Bksinkj)(Ckrk+Dkr-k). (8)
Функція (8) буде рішенням рівняння (1¢) при довільному значенні k, відмінним від 0. Якщо k=0, то рівняння (5) і (5¢) приймають вид:
Ф¢¢=0, rR(r)+R¢(r)=0,
отже,
U0=(A0+B0j)(C0+D0lnr). (8¢)
Рішення має бути періодичною функцією від j, так як при одному і тому ж значенні r при j і j+2p ми маємо мати одне і те ж значення рішення, тому що розглядається одна і та ж точка кола. Виходячі з цього очевидно, що у формулі (8¢) має бути В0=0. Далі, ми шукаємо рішення, непреривне і кінцеве в колі. Отже, в центрі кола при r=0 рішення має бути кінцевим, і тому у формулі (8¢) має бути D0=0, а у формулі (8) Dk=0.
Таким чином, права частина (8¢) перетворюється в добуток А0С0, яке ми позначимо як А0/2. Отже,
. (8¢¢)
Ми будем складати рішення нашої задачі у вигляді суми рішень виду (8), так як сума рішень є рішення. Сума має бути періодичною функцією від j. Для цього k має приймати цілі значення. Ми маємо обмежитись тільки додатніми значеннями
K=1, 2, …, n, …,
так як в силу произвольности постійних А, В, С, D від’ємні значення k нових частинних рішень не дають. Отже,
(9)
(постійна Сn включена у An i Bn). Тепер підберемо произвольные постійні An і Bn так, щоб задовільнялась крайова умова (2). Підставляючи в рівність (9) r=R, на основі умови (2) дістанемо:
. (10)
Щоб мала місце рівність (10), потрібно, щоб функція f(j) розкладалась в ряд Фур’є в інтервалі (-p,p), та щоб AnRn і BnRn були її коефіцієнтами Фур’є. Отже, An і Bn мали визначатись по формулам:
. (11)
Отже, ряд (9) з коефіцієнтами, визначиними по формулам (11), буде рішенням нашої задачі, якщо допускає почленне двухкратне диференціювання по r і j. Перетворемо формулу (9). Підставляючи замість An і Bn їх вирази (11) і виконуючі тригонометричні перетворення, дістанем:
. (12)
Перетворимо вираз, що стоїть в квадратних душках:
Завантажити реферат