Похідна та її застосування

Зрозуміло, що функція у цьому випадку не може досягати найбільшого і найменшого значення на кінцях інтервалу. Наприклад, функція в інтервалі (3;6) не має ні найбільшого, ні найменшого значення у внутрішніх точках інтервалу. У цьому випадку чинять так:

1. знаходять критичні точки, що належать цьому інтервалу, і обчислюють значення функції в цих точках;

2. знаходять ліву та праву границі відповідно в точках а і б , тобто . Якщо ці границі існують, то їх порівнюють із значеннями функції в критичних точках. Якщо виявиться, що значення в критичних точках більші(менші) за знайдені границі, то це і буде найбільшим(найменшим) значенням функції на інтервалі.

Приклади.

Приклад 1. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b]

Розв’язання. На даному відрізку функція визначена і неперервна, диференційована в інтервалі(-2;2). Знайдемо похідну, критичні точки:

х=0

знайдемо значення функції в критичній точці і на кінцях відрізка:

Отже,

.

Приклад 2. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b]

Розв’язання. Функція визначена і неперервна на відрізку , диференційна в інтервалі (-1;1). Тому вона набуває на даному відрізку найбільшого і найменшого значення. Знайдемо критичні точки даної функції. Для цього знайдемо похідну

і прирівняємо її до нуля:

х4+8х=0; х=0; х=-2.

Отже, на інтервалі (-1;1)функція має лише одну критичну точку х=0. знайдемо значення функції в цій точці .

Обчислимо значення функції на кінцях відрізка

, .

Отже,

,

Відповідь:,

1.5. Означення дотичної, піддотичної, нормалі

Нехай функція y=f(x) диференційована в точці х0. рівняння дотичної до графіка функції y=f(x) в цій точці має такий вигляд:

,

де х і у – біжучі координати дотичної, f ‘(x0)=k – кутовий коефіцієнт дотичної, який дорівнює значенню похідної в точці х0, тобто тангенс кута нахилу дотичної до доданого напрямку осі абсцис.

Відрізок АВ, що міститься між абсцисою точки дотику і точкою перетину дотичної з віссю абсцис, називають під дотичною. Її довжина дорівнює |х0-х1|.

Пряма МС, перпендикулярна до дотичної в точці її дотику М до графіка функції у=f(x), називається нормаллю.

Рівняння нормалі записують у вигляді:

якщо f ‘(x0)0(в противному разі рівняння нормалі х-х0=0).

На цей матеріал можна скласти ряд задач. Розглянемо деякі з них.

1. Дано абсцису точки дотику х0 графіка функції у=f(x), а необхідно записати рівняння дотичної, що проходить через точку з цією абсцисою.

Для цього знаходимо похідну функції у=f(x), її значення в точці х0, тобто , та значення функції в точці х0, тобто . Цих даних достатньо, щоб записати рівняння дотичної .

2. Який кут утворює дотична з додатним напрямком осі абсцис, якщо відома абсциса точки дотику х0?

Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної ,то .

Таким чином, задача зводиться до знаходження похідної функції у=f(x), тобто y’=f ‘(x), і обчислення її значення в точці х0.

3. Знайти гострий кут між дотичними, проведеними до графіків функцій ,що мають спільну абсцису х0:

, .

4. Знайти довжину дотичної до графіка функції у=f(x), абсциса точки дотику якої дорівнює х0.

Довжиною дотичної прийнято називати відстань між точкою дотику до графіка функції і точкою її перетину з віссю абсцис.

У цьому випадку знаходимо

і скористаємося формулою

Приклади:

Приклад 1. Знайти рівняння дотичної до графіка функції

в точці з абсцисою х0=3.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції, значення функції та її похідної в точці х0:

скориставшись рівнянням дотичної

,

матимемо

Звідси .

Відповідь:.

Приклад 2. Який кут з віссю абсцис утворює дотична до параболи y=x2-4x+8 в точці (3;5)?

Розв’язання. Безпосередньо підстановкою координат заданої точки в рівняння параболи переконуємося, що вона їй належить.

Знайдемо похідну y’=2x-4.

Тоді . Звідси

Відповідь:

Приклад 3. Дотична до графіка функції

нахилена до осі абсцис під кутом . Знайти координати точки дотику.