Математичні моделі інфляції

де

З (1.4), (2.1.44), (2.1.45), (2.1.48) та (2.1.49) випливає, що рівноважна траекторія росту зайнятості визначається рівнянням

Таким чином, рівноважна та оптимальна траекторія зайнятості співпадають. В цьому відношенні політика (2.1.39) ефективніша, за політики (2.1.1) та (2.1.19).

З (2.1.6) , (2.1.21), (2.1.41), (2.1.42) та (2.1.47) — (2.1.50) маємо

де

Точні траекторії зміни змінних визначаються початковими значеннями цих змінних і системою рівнянь (2.1.52) — (2.1.55), а наближені траекторії – тими ж початковими значеннями і системою лінійних рівнянь, які включають (2.1.52), (2.1.53), (2.1.55) та

Характеристичними коренями матриці коефіцієнтів останньої системи є корені рівняння

де

Необхідні і достатні умови від’ємності дійсних частин цих коренів задаються нерівностями: , , , . Відмітимо, що . Відповідно, політика (2.1.39) може справляти дестабілізуючу дію.

Припустимо, наприклад, що ; ; ; ; ; ; ; ; , корені рівняння (2.1.57) рівні ; ; . Порівняння цього результату, з результатом, отриманим при допушенні постійної пропозиції грошей показує, що в цьому випадку один з проявів грошової політики зводиться до зменшення демпфування циклу.

Політика (2.1.1), (2.1.19) та (2.1.39) є частинними випадками більш загальної політики, що описується рівнянням

З рівняння (2.1.1) випливає що , із (2.1.19) – що , а із (2.1.39) – що . У найбільш ефективної політики такого типу, зрозуміло, всі три параметри повинні мати додатні значення. Розглянемо тепер дещо менш загальний випадок, коли , , . В цьому випадку рівняння (2.1.58) має вигляд

і повна модель описується рівнянням (1.1) — (1.9) та (2.1.59).

Із (1.4), (2.1.40) та (2.1.59) маємо

Траекторії зміни змінних та визначаються початковими значеннями цих змінних та системою рівнянь, що включає (2.1.6), (2.1.21), (2.1.41) та (2.1.60). Рівноважні траекторії росту цих змінних задаються рівняннями (2.1.43) — (2.1.50), а рівноважна траекторія росту зайнятості – рівнянням (2.1.51). Таким чином рівноважна та оптимальна траекторії зайнятості співпадають. Цей результат отримується, по суті, при довільній політиці, яку можна описати рівнянням виду (2.1.58) при умові .