Українські реферати, курсові, дипломні роботи
UkraineReferat.org
українські реферати
курсові і дипломні роботи

Зворотні послідовності

Реферати / Математика / Зворотні послідовності

План

1. Поняття зворотної послідовності.

2. Приклади зворотних послідовностей.

3. Зв’язок зворотного рівняння із сумами членів послідовності.

4. Загальна формула для знаходження будь-якого члену зворотної послідовності.

5. Приклади, та розв’язки задач із використанням теорії зворотної послідовності.

Поняття зворотної послідовності є широким узагальненням поняття арифметичної або геометричної прогресії. Як окремі випадки воно охоплює також послідовності квадратів або кубів натуральних чисел, послідовності цифр десяткового розкладання раціонального числа (узагалі, будь-які періодичні послідовності), послідовності коефіцієнтів частки від поділу двох многочленів, розташованих по зростаючих ступенях, і т.д. Звідси видно, що зворотні послідовності в курсі математики зустрічатися досить часто. Теорія зворотних послідовностей складає особливу главу математичної дисципліни, яка має назву дослідженням кінцевих різниць.

Будемо записувати послідовності у вигляді

u1,u2,u3, .un, ,

(1)

або коротко {un}. Якщо існує натуральне число k і числа a1,a2, ,ak (дійсні або уявні, причому ak¹0 ) такі, що, починаючи з деякого номера m і для всіх наступних номерів

un+k=a1un+k—1+a1un+k—2+ .+akun (n³m³1)

(2)

то послідовність (1) називається зворотною послідовністю порядку k, а співвідношення (2) — зворотнім рівняння порядку k. Таким чином, зворотна послідовність характеризується тим, що кожний член її (починаючи деякого з них) виражається; через одне і ту саму кількість k безпосередньо передуючих йому членів по формулі (2).

Приклади зворотних послідовностей.

Приклад I. Геометрична прогресія.

Нехай маємо геометричну прогресію

u1=a, u2=aq, u3=aq2, .,un=aqn—1

 

для неї рівняння (2) набуває вигляду

un+1=qun

 

Тут k=1 і a1=q. Таким чином геометрична прогресія є зворотною послідовністю першого порядку.

Приклад 2. Арифметична прогресія.

У випадку арифметичної прогресії

u1=a, u2=a+d, u3=a+2d, .,un=a+(n—1)d, .

 

маємо

un+1=un+d

 

співвідношення, що не має вигляду рівняння (2) .Однак, якщо ми розглянемо два співвідношення, написані для двох сусідніх значень n:

un+2=un+1+d

 

un+1=un+d

 

то одержимо з них шляхом почленного віднімання

un+2—un+1=un+1—un

 

un+2=2un+1—un

 

рівняння вигляду (2). Тут k=2, a1=2, a2=-1. Отже арифметична прогресія є зворотною послідовності порядку 2.

Приклад 3. Числа Фібоначчі. Задовольняють зворотному рівнянню другого порядку

un+2=un+1+un

 

Приклад 4 Послідовність квадратів натуральних чисел

u1=12, u2=22, u3=3, , un=n2, .

(3)

Тут un+1=(n+1)2=n2+2n+1 і відповідно

un+1=un+2n+1

(4)

Збільшуючи n на одиницю, отримаємо

un+2=un+2n+3

(5)

І, отже (віднімаючи почленно (4) від (5))

un+2‑un+1=un+1‑un+2

 

Або

un+2=2un+1‑un+2

(6)

Збільшуючи в рівнянні (6) n на одиницю, будемо мати

un+3=2un+2‑un+1+2

(7)

Звідки (почленно віднімаючи (6) від (7))

un+3‑un+2=2un+2‑3un+1+un

 

або

un+3=3un+2‑3un+1+un

 

Ми отримали зворотне рівняння третього порядку. Отже, послідовність (8) є зворотною послідовністю третього порядку. Подібним чином можна переконатися, що послідовність кубів натуральних чисел є зворотною послідовністю четвертого порядку, члени якої задовольняють рівняння

un+4=4un+3‑6un+2+4un+1‑un

 

Приклад. 5. До зворотних послідовностей відносяться всі періодичні послідовності.: Розглянемо, наприклад, послідовність цифр десяткового розкладу числа

Тут

u1=5, u2=7, u3=1, u4=3,

(8)

u5=2, u6=1, u7=3

Очевидно, що

un+3= un (n³3)

 

Завантажити реферат Завантажити реферат
Перейти на сторінку номер: 1  2  3  4  5  6  7  8 

Подібні реферати:


Останні надходження


© 2008-2019 україномовні реферати та навчальні матеріали