Українські реферати, курсові, дипломні роботи
UkraineReferat.org
українські реферати
курсові і дипломні роботи

Зворотні послідовності

Реферати / Математика / Зворотні послідовності

і, відповідно,

 

або

 

Це і формула для знаходження чисел Фібоначчі.

Розглянемо ще один приклад у якому корінь характеристичного рівняння є кратним. Такою послідовністю може бути послідовність квадратів натуральних чисел. Для них зворотне рівняння має вигляд.

un+4=4un+3‑6un+2+4un+1‑un

 

і, отже, характеристичне рівняння таке:

q4=4q3-6q2+4q-1

 

або

q4-4q3+6q2-4q+1=(q-1)4=0

 

Воно володіє тільки одним чотирьохкратним коренем: q=1; тому ми й одержуємо тут тільки одну геометричну прогресію зі знаменником 1, члени якої, задовольняють даному зворотному рівнянню.

У подібних випадках доводиться шукати інші простіші зворотні послідовності, що разом, із зазначеною геометричною прогресією можуть скласти базис даного рівняння. У нашому прикладі такими послідовностями будуть

 

Тепер нехай маємо зворотне рівняння

(21)

де — біноміальні коефіцієнти порядку k, що відповідає характеристичному рівнянню

 

яке може бути подане у вигляді.

 

Воно має k – кратний корінь q=α; очевидно, що

 

Розглянемо взагалі наступні тотожності;

 

Де m=0,1,2,…,k-1, або

(22)

Рівність, що відповідає m=0, має вигляд

(23)

При цьому можна помітити

(24)

Або

 

Домножимо кожне рівняння (22) (m=1,2, .,k-1) на відповідний множник k(k-1)…(k-m+1) і після цього скористаємося (24), перепишемо його у вигляді

(25)

Доведемо тепер, що при m=0,1,2,…,k-1 виконуються слідуючи рівності:

(26)

Справді, рівність, яка відповідає m=0, співпадає з (23) і, отже, справедлива.

Міркуючи по індукції, припустимо, що рівності (26) уже доведені для m=0,1,…j (jk-2), і доведемо що рівність, яка відповідає m=j+1 також справедлива. З цією метою введемо многочлен степеня j+1:

f(x)=(x-j)(x-j+1)…(x-1)x=xj+1-βjxj-…- β1x

 

Домножаючи рівняння (61) при m=1,2,…j відповідно на числа β1, β2, .,βj, отримаємо

(28)

Запишемо рівняння (25), яке відповідає значенню m=j+1, у вигляді

(29)

(ми тут використали те, що (k-j)…k=f(k), (k-j-1)… (k-1)=f(k-1),…,(k-μ-j)…(k-j)=f(k-j), .).

Додаючи (28) і (29) почленно, будемо мати

 

Проте в наслідок (27)

β1x+ β2x2+…+ βjxj+f(x)=xj+1

 

Тому отриманий результат набуває вигляду

 

Завантажити реферат Завантажити реферат
Перейти на сторінку номер: 1  2  3  4  5  6  7  8 

Подібні реферати:


Останні надходження


© 2008-2024 україномовні реферати та навчальні матеріали