Математичні задачі електроенергетики

1 Побудова та обгрунтування схеми заміщення електричної мережі

1.1 Обґрунтування способу зображення окремих елементів електричної мережі у схемі заміщення

Аналіз умов роботи електричної системи потребує розрахунку її усталеного режиму, метою якого являється визначення таких параметрів режиму, як напругу у вузлах, струми і потужності, що протікають по її окрамим елементам. Для виконання таких розрахунків реальної системи ставиться у відповідність так звана схема заміщення, що являє собою сукупність схем заміщення її окремих елементів, з'єднаних між собою в тій же послідовності, що і в реальній схемі.

Окремі елементи електричної системи в розрахунках усталеного режиму визначаються схемами заміщення, що складаються із елементів електричної мережі: джерел напруги і струму, опорів.

Джерела електроенергії можуть бути представлені у вигляді джерела напруги з ЕДС Е і внутрішнім опором Z (рис. 2.1), або у вигляді джерела струму J, значення якого рівно струму усталеного режиму І (рис. 2.1), причому останній зазвичай зображують так званим визначальним струмом (рис. 2.1).

Навантаження (споживачі ел.енергії) мають схему заміщення або у вигляді опору Z (рис. 2.1), або (аналогічно джерелу живлення) у вигляді джерела струму, рівному взятому з оберненим знаком струму навантаження (рис. 2.1), або ж у вигляді визначального струму (рис. 2.1).

рис. 2.1

З використанням даних позначень схему заміщення електричної мережі можна подати наступним чином:

Рис. 3.

1.2 Зображення схеми заміщення у вигляді графа

Для спрощення зображення електричної мережі, та відображення її структури, схему електричної мережі зображають у вигляді графа, граф — це зображення електричної мережі у вигляді вузлів, і віток які з’єднують ці вузли, причому вітки зображаються без зображення опорів.

Якщо у графі можна вибрати шлях, який з’єднує його любі дві вершини, то цей граф називається зв’язаним, якщо ж це неможливо то такий граф називають незв’язаним. Якщо ребра графа мають фіксовані напрямки то такий граф називають направляючим.

Кожне ребро направленого графа має початкову і кінцеву точки.

Нашу схему електричної мережі можна зобразити у вигляді зв’язаного графа (рис. 5).

Рисунок 4

Тут виділено вітки дерева і хорди графа.

Дерево це найменший зв’язаний підграфграф, який можна виділити у вихідному графі, яка з’єднує усі вузли графа, та немає замкнених контурів.

Хорди це усі інші вітки які не ввійшли до дерева графа.

У подальших розрахунках усе що відноситься до дерева графа, буде позначатись індексом a, а все що стосується хорд графа позначатиметься індексом b.

Також у нашому графі можна виділити 1 замкнений контур.

1.3 Обгрунтування та проведення нумерації віток схем заміщення

В нашій схемі вже вказано нумерацію вузлів, тому нам залишилося лише вказати напрямки віток графу, та їх нумерацію.

Напрямки шляхів графу визначаються таким чином: у дереві графу напрямок обирається від вузла балансу до віток, а вітки хорди по напрямку обходу контуру у якому вони знаходяться.

Нумерують вітки таким чином: вітки дерева нумерують по кінцевих вузлах, усі інші вітки нумеруються довільно (повне зображення графа із нумерацією, напрямками віток та розбиттям на дерево і хорди вказано на рис. 4).

1.4 Визначення та побудова матриці параметрів режиму і параметрів системи для конкретної електричної мережі

Для направленого графа можуть бути визначені:

1. Матриця з¢єднання віток в вузлах (перша матриця інциденції)

2. Матриця з¢єднання віток в незалежні контури (друга матриця інциденції), які служать для узагальненого аналітичного представлення графа. Перша матриця інциденції прямокутна матриця , число рядків якої дорівнює числу вершин графа «n», а число стовпців — числу ребер «m». Вона позначається наступним чином:

MS = ( m i j ) i = 1 n j = 1 m

Елементи матриці MS можуть приймати одне з трьох значень :

m i j = +1 , якщо вузол і є початковою вершиною вітки j;

m i j = -1 , якщо вузол і є кінцевою вершиною вітки j;

m i j = 0 , якщо вузол і не є вершиною вітки j;

Друга матриця інцеденції – це прямокутна матриця , число рядків якої дорівнює числу незалежних контурів графа, «k» , а число стовпців – числу віток «m». Вона позначається наступним чином:

N ( n i j ), i = 1 k , j = 1 m .

Елементи матриці N можуть приймати одне з трьох значень :

n i j = + 1, якщо вітка «j» входить в контур «і» і їх напрямки співпадають;

n i j = - 1, якщо вітка «j» входить в контур «і» і їх напрямки не співпадають;

n i j = 0 , якщо вітка «j» не входить в контур «і».

Запишемо першу та другу матрицю інциденції для даного графа.

Перша матриця інцеденції:

Перша матриця інцеденції для вузла балансу

Перша матриця інцеденції включаючи вузол балансу

Друга матриця інцеденції:

2 Складання рівнянь стану електричної мережі та їх розв’язання

2.1 Складання рівнянь стану електричної мережі

Запишемо вхідні данні для нашої задачі:

Комплексна одиниця

При визначенні визначального струму ставимо знак «-», якщо у вузлі «і» споживач електричної енергії і знак «+», якщо у вузлі знаходиться джерело електричної енергії.

Стовбцева матриця потужності споживачів ВА

Напруга мережі В

Комплекні опори віток мережі:

Ом

Визначальна матриця струмів

А

Матриця провідностей віток