Математичні основи обчислення тарифних ставок

,

незсунена вибіркова дисперсія є оцінкою дисперсії випадкової

величини:

Принципи обчислення тарифних ставок. В актуарній прак­тиці використовуються найрізноманітніші методи обчислення та­рифних ставок. Усі вони базуються на принципі еквівалентності фінансових зобов'язань страхувальника і страховика. Але пара­докс полягає в тому, що не існує єдиного погляду на те, як тлу­мачити цей загальновизнаний принцип страхування. Розглянемо найпоширеніші підходи до трактування принципу еквівалентності.

Еквівалентність фінансових зобов'язань як еквівалент­ність сподіваних значень. Зобов'язання страхувальників поля­гають у сплаті страхових премій. Зобов'язання страховика опла­чувати позови страхувальника. Нехай р означає суму зібраних страховиком премій, Х—сумарні виплати страховика. Природно вважати, що справедливою платою за ризик страховика є споді­ване (середнє) значення випадкової величини X:

У такому вигляді принцип еквівалентності доволі часто вико­ристовується у страхуванні життя та деяких інших галузях масо­вого страхування.

Еквівалентність зобов'язань з погляду теорії розорення.

Зобов'язання страхувальників мають безумовний характер. Ку­пуючи поліс, страхувальник звільняє себе від ризику несподіва­них витрат. Витрати страховика, навпаки, непередбачувані. Страховик бере на себе ризик, який полягає в тому, що його ви­плати будуть значно більші за М[Х]. Тому страховик вправі вима­гати додаткової плати за можливі збитки — ризикову надбавку L, із цього погляду справджується співвідношення:

Постає запитання: якими мають бути розміри ризикової над­бавки L та страхової премії р? Щоб відповісти на нього, доцільно звернутися до теорії розорення.

Факт розорення страховика описується співвідношенням U + р < X, де U — розмір власних коштів страховика. Відповідно ймовірність розорення дорівнює Р{U + р < X}.

Отже, якщо страховик намагається досягнути ймовірності ро­зорення α, то він має забезпечити розмір страхових премій р та­ким, щоб виконувалося співвідношення: Р{U + р < X}= α.

Таке розуміння принципу еквівалентності є найпоширенішим у сьогоденній практиці. Основним недоліком цього підходу є до­сить висока абстрактність поняття «ймовірність розорення». Яка ймовірність розорення страховика вважається достатньою — 10, 1 чи 0,1 %? На це запитання дуже важко дати аргументовану від­повідь. Зменшення ймовірності розорення з 2 до 0,2 % для стра­ховика не має принципового значення, хоча може призвести до необхідності збільшити ризикову надбавку в півтора раза.

Принцип еквівалентності зобов'язань у термінах теорії розо­рення має математично обгрунтовану форму, але застосування його в актуарній практиці може призводити до значних коливань розрахункових значень.

Еквівалентність зобов'язань з погляду теорії корисності. Нині дедалі популярнішим стає підхід до формалізації принципу еквівалентності фінансових зобов'язань страхувальника і страхо­вика, що грунтується на теорії корисності.

Основним поняттям цієї теорії є функція корисності. Функ­цією корисності називають функцію u(х), яка має такі властивості:

функція й зростаюча — u(х) > u(у) при х > у;

функція й задовольняє нерівність Єнсена М[u(х)]<u(М[х]);

функція й задовольняє умову нульової корисності u(о)=0.

Функція корисності визначає ступінь важливості для страхо­вика певних грошових сум. Вона має суб'єктивний характер, включаючи психологічний компонент.

За допомогою функції корисності принцип еквівалентності можна записати так:

Отже, сподівана корисність капіталу страховика після прийняття ризиків не повинна зменшитися порівняно з корисністю початково­го капіталу. На практиці часто застосовують експоненціальну u(х)=1–е–ах та квадратичну u(х) = ах-х2 функції корисності.

Головна проблема при практичному використанні принципу еквівалентності в термінах теорії корисності — відшукання адек­ватної функції корисності.