Динаміка кругового руху матеріальної точки

OY: (3.2)

За формулою (1.3) рівність (3.1) можна переписати у вигляді:

(3.3)

Тобто ~. Але ми знаємо, що . Отже маємо усі необхідні дані для побудови залежності :

OX: , (3.4)

OY: , (3.5)

Покажемо схематичний графік залежності:

Звідси одразу видно якою буде ”максимальна” швидкість обертання диску, – при якому тіло буде ще лежати на диску:

З’ясуємо, що відбудеться при . Тоді сила тертя досягне свого максимального значення й буде вже не в змозі компенсувати відцентрову силу і тіло почне рухатися від центра. Тобто при тіло почне ковзати по диску.

Отже ми розглянули основні приклади розв’язання задач на динаміку обертального руху в горизонтальній площині. Як же буде виглядати картина, якщо повернути площину обертання на 90о? Це питання розглядається в наступному розділі.

Рух у вертикальній площині

Підхід до розв’язку задач цього типу схожий з попереднім. Вісь абцис тут краще вибирати спрямовану до центра кола обертання, вісь ординат – по дотичній. Причому осі треба обирати в кожний момент часу “наново”. Особливістю задач на обертальний рух в вертикальній площині є те, що при обертанні постійно змінюється кут між силою тяжіння та силою, що напрямлена до чи від центра кола обертання (наприклад, при обертанні груза на нитці сила натягу нитки напрямлена до центра, а при русі автомобіля по опуклому чи увігнотому мосту сила реакціїї опори – від центра). Як це впливає на розв’язок тієї чи іншої задачі – розглянемо на прикладах.

Приклад 4. Рух шайби по сфері.

З вершини напівсфери починає ковзати шайба без тертя. Довести, що шайба відірветься не доходячи до краю сфери.

По-перше, нарисуємо рисунок і виразимо умову задачі математичною мовою.

Тобто треба довести, що існує така висота , що як тільки шайба її досягне, то відразу відірветься від поверхні моста. Одразу ж відмітимо, що коли шайба відірвалася від моста, на неї перестає діяти сила реакціїї опори, тобто:

(4.1)

Спрямувавши осі, як показано на рисунку, запишемо ІІ закон Ньютона векторно, та в проекціїї на вісь ОХ:

ОХ: (4.2)

Отже, врахувавши рівності (2) та (4.1), запишемо рівняння руху в момент відриву:

, звідки

(4.3)

З рисунка видно:

або, підставляючи (4.3):

(4.4)

З (4.4) видно, що . На цій висоті на шайбу перестає діяти сила реакції опори. А це означає, що шайба відірветься від напівсфери не доходячи до землі.

Приклад 5 Обертання тіла на стержні.

Тіло обертається у вертикальній площині на стержні довжиною , при чому вісь обертання проходить через один з його кінців. Стержень обертають з кутовою швидкістю . Розрахувати якої максимальної маси може бути тіло, якщо стержень витримує навантаження ?

За ІІ законом Ньютона:

(5.1)

Виберемо вісь ОХ спрямовану до центра кола, тоді (5.1) у проекціїї на обрану вісь прийме вигляд:

(5.2)

Тут була урахована рівність (1.3).

Стержень діє на тіло силою , тоді за ІІІ законом Ньютона на стержень діє відцентрова сила, за модулем рівна . При сталій кутовій швидкості залежність згідно (5.2) приймає вигляд:

(5.3), тобто

T~ cosa

Отже, сила Т, що діє на стержень, буде максимальною, коли cosa - максимальний. Але , звідки .Тому

(5.4)

Стержень не розірветься за умови:

(5.5)

Аналагічно розмірковуючи, можемо знайти найменшу силу Т – тоді , що відповідає З (5.3) маємо:

(5.6)

Підставляючи граничне значення з нерівності (5.5) у формулу (5.4), отримаємо значення максимально допустимої маси груза:

(5.7)

Також зазначимо,що при:

(5.8)

в рівності (5.6) сила, що діє на стержень може бути “від’ємна”. Насправді є від’ємною проекція сили. Тобто за умови (5.8) у наіверхній точці траекторії груз буде давити на стержінь. Отже до умови нерозривності стержня в загальному випадку треба додасти ще умову “незламності”: