Управління запасами

(1,77)

З ймовірністю 1-х-у нічого не трапиться :ні з’явиться новий клієнт, ні підвезуть

нову партію Тому ймовірність того що довжина черги залишиться рівною І дорівнює :

(1,78)

Якщо в даний момент часу ви не маєте незадоволеного попиту (ймовірність відсутності незадоволеного попиту дорівнює r(0) , то можливі дві ситуації: з’явлення нового покупця з ймовірністю х ,та відсутність змін з ймовірністю (1-х):

(1,79)(1,80)

З за малості х у (цього можна добитися зменшуючи величину часового проміжку до 0 )Ви нехтуєте можливістю того, що одночасно трапиться декілька подій , наприклад одночасно прийдуть декілька покупців. Ви шукаєте середню величину, тобто стаціонарний стан системи (1,76-1,80) В цьому випадку рівняння ви можете написати:

(1,81)(1,82)

Рівняння (1.81)(1.82) мають розв’язок:

В більш компактному вигляді:

Тепер вам залишилось отримати чисельні значення для ймовірності r(I),І0. Для цього випишемо рівняння нормування: ймовірністю 1 система буде мати задовільнений попит чи яку небуть величину незадоволеного попиту . Математично ця умова запишеться у вигляді:

або

Маючи вираз для суми геометричної прогресії:

Ви отримаєте :

Найдемо середню довжину черги :

Тепер вам залишилось підрахувати ряд :

Таким чином ми отримали:

Теорему доведено.

Чисельний приклад 1,30 Довжина черги.

Вас цікавить довжина черги в залежності від відношення х/у- ймовірності отримання нового замовлення до ймовірності обслуговування присутнього замовлення в одиницю часу.

Довжина черги:

В першій строчці розташовані різні відношення х/у ,в другій Відповідні очікувані довжини черги І розраховані за формулою (1,75) Ви бачите що для мінімальної довжини черги ймовірність(швидкість) обслуговування клієнта повинна перевищувати ймовірність(швидкість) приходу клієнтів. Так на приклад для середньої довжини черги в 2 особи таке перебільшення повинно складати 33%

Теорема 1,10 Оптимальна величина запасу

Нехай неустойка за незадовільненя попиту дорівнює М, вартість зберігання однієї одиниці товару є , ймовірність приходу клієнта в одиницю часу є х, ймовірність задоволення клієнта в одиницю часу є у.

Тоді оптимальний розмір запасу L визначається за формулою:

(1,83)

Доведення:

Ймовірність r(I>L) того, що величина незадоволеного попиту буде більша за L розраховується за формулою:

тому середня величина запасу для задоволення усіх покупців повинна дорівнювати або

Якщо при не можливості задовольнити попит , ви платите неустойку в розмірі М, то для визначення оптимальної величини запасу L, Ви розв’язуєте задачу:

(1,84)

Де - вартість зберігання 1 одиниці товару.

Задача(1.84) розв’язується аналітично, але її можна розв’язати чисельно або графічно. Оптимальна величина резервного запасу L задовольняє умові:

або

Теорему доведено

Так при витратах зберігання $1.6/штука,=0,25,М=$100 ви отримаєте значення оптимального резервного запасу

або 3-4 штуки. Якщо неустойка зросте до $1000 то оптимальний запас збільшится до 5 штук. Якщо ж =0,8 то оптимальні величини резервного запасу будуть вже 6,7 та 17 штук відповідно для штрафу $100 та $1000.

Чисельний приклад1,31 Оптимальна величина резервного запасу прирізних відношеннях витрати зберігання однієї одиниці до величини неустойки та відношення ймовірності приходу клієнта до ймовірності обслуговування клієнта.