Так як ми розглядаємо малі відхилення струни в площі (x,u), то будемо припускати, що довжина елемента струни ¾М1М2 рівна її проекції на вісь 0Х, ¾М1М2=х2-х1. Також будем припускати, що натяг в усіх точках струни однаковий; позначимо його як Т.
 |
На кінцях цього елемента, по дотичним до струни, діють сили Т. нехай дотичні створять з віссю 0Х кути j та j+Dj . тоді проекція на вісь 0u сил, діючих на елемент ММ', буде рівна Тsin(j+Dj)-Tsinj. Так як кут j малий, то можна покласти tgj=sinj, і ми отримаємо :
(тут ми примінили теорему Лагранжа до виразу, що стоїть у квадратних душках).
Щоб получити рівняння руху, потрібно зовнішні сили прирівняти силі інерції. Нехай r - лінійна щільність струни. Тоді маса елемента струни буде rDх. Прискорення елемента дорівнює 
. Отже, по принципу Даламбера будем мати:
Скорочуючи на Dх і позначаючи 
, получаємо рівняння руху 
. (1)
Це і є хвильове рівняння – рівняння коливань струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо. Шукана функція u(x,t) повинна ще задовільнятись граничним умовам, вказуючим, що робиться на кінцях струни (х=0 і х=1), та початковим умовам, описуючим стан струни в початковий момент (t=0). Суцільність граничних та початкових умов називається краєвими умовами.
Нехай, наприклад, як ми припускали, кінці струни при х=0 і х=1 нерухомі. Тоді при довільному t мають виконуватись рівності:
u(0,t)=0,
u(l,t)=0.
Ці рівності є граничними умовами для нашої задачі.
В початковий момент t=0 струна має визначену форму, яку ми їй надали. Нехай ця форма визначається функцією f(x). Таким чином, має бути
. (2)
Далі, в початковий момент має бути задана швидкість в кожній точці струни, яка визначається функцією j(х).Таким чином, має бути
. (3)
Умови (2) і (3) являються початковими умовами.
Тема: Розв’язок задачі Коші методом Даламбера.
Розглянемо ще один метод рішення хвильового рівняння – метод Даламбера.
Візьмем випадок, коли граничні умови нас не цікавлять або коли їх можна не враховувати. В цих випадках задача ставиться так:
Знайти рішення хвильового рівняння
Utt-a2uxx=0 (t=y, a11=-a2, a12=0, a22=1),
Задовільняюче початковим умовам
U(x,0)=j(x); ut(x,0)=y(x)
де j(х) і y(x) – задані у 
функції.
Зведем хвильове рівняння до канонічного виду, що містить змішану похідну. Тут характеристичне рівняння
A11dt2-2a12dxdt+a22dx2=0
Прийме вид -a2dt2+dx2=0,
або dx2-a2dt2=0.
Воно розпадається на два рівняння:
dx-adt=0 і dx+adt=0
інтеграли яких будуть x-at=C1, x+at=C2
введемо нові змінні
x=x-at, h=x+at.
Тоді
xх=1, xt=-a, hx=1, ht=a,
ux=uxxx+uhhx=ux+uh,
uxx=uxxxx+uxhhx+uhxxx+uhhhx=uxx+2uxh+uhh,
ut=uxxt+uhht=-aux+auh,
utt=-auxxxt-auxhht+auhxxt+auhhht=a2uxx-2a2uxh+a2uhh.
Підставивши uxx, utt в вихідне рівняння, отримаємо
a2uxx-2a2uxh+a2uhh-a2(uxx+2uxh+uhh)=0,
-4a2uxh=0,
uxh=0.
Отримане рівняння можна записати як:
.
Звідси випливає, що uh не залежить від x:
uh=f*(h),
де f*(h) – довільна функція h.
Інтегруючи останню рівність по h при фіксованому x, маємо
.
де f1(x) і f2(h) – довільні двічі диференціюючі функції аргументів x і h.
Враховуючи, що x=х-at і h=x+at, дістаєм загальне рішення даного рівняння у вигляді
u(x,t)=f1(x-at)+f2(x+at).
Визначимо функції f1 і f2 так, щоб функція u(x,t) задовільняла початковим умовам:
u(x,t)=f1(x)+f2(x)=j(x),
ut(x,0)=-af¢1(x)+af¢2(x)=y(x).
Таким чином, для знаходження функцій f1 і f2 маємо систему рівнянь
f1(x)+f2(x)=j(x),
-af¢1(x)+af¢2(x)=y(x).
Інтегруючи другу рівність, отримаємо
де х0 і С – постійні. Тоді
f1(x)+f2(x)=j(x),
.
Звідси знаходимо
,
і
.
Підставивши у вираз для u(x,t) знайдені значення f1 і f2, отримаємо
,
.
Ця рівність називається формулою Даламбера.
Раніше функцію u(x,t) ми записували як:
u(x,t)=f1(x-at)+f2(x+at),
де перший додаток
при x-at=const зберігається постійне значення. Отже, функція f1(x-at) описує розповсюдження прямої бігучої хвилі без викревлення.
Аналогічно функція
являє собою обратну біжучу хвилю без викревлень, щорозповсюджуються з тією ж швидкістю, але в від¢ємному напрямку вісі 0Х.
В цілому процес розповсюдження коливань, функції u(x,t), представляє собою суперпозицію (накладання) прямої та оберненої біжучих хвиль без викревлень.
Лекція №2
План
1. Рівняння теплопровідності.
2. Розв’язок задачі методом перетворення Фур’є.
3. Рівняння Пуассона.
4. Розв’язок задачі Діріхле в крузі методом Фур’є.
Питання до самоконтролю
1. Вияснити фізичний зміст першої крайової задачі рівняння теплопровідності в однорідному стержні.
2. Яка кількість теплоти протікає через поверхню S в просторі?
3. Як називається вираз в дужках у рівнянні
Що це за рівняння?
4. В чому полягає задача Коші для випадку стержня, обмежаного з однієї сторони?
5. Записати інтеграл імовірностей.
6. Яку умову повинні задовільняти частинні розв’язки задачі Діріхле в крузі?
Завантажити реферат