Щоб подати це рівняння у вигляді (2), перепишемо його наступним чином:
|
un+3=0un+2+0un+1+1un |
Звідси видно, що це зворотне рівняння третього порядку (k=3, a1=0, a2=0, a3=1). Отже, послідовність (8) є зворотною послідовність третього порядку.
Приклад 6. Розглянемо тепер послідовність коефіцієнтів частки від ділення двох многочленів розташованих по зростаючих степенях x. Нехай
P(x)=A0+A1x+…+Alxl
Q(x)=B0+B1x+…+BKxK (B0¹0)
Будемо ділити Р(х) на Q(x); якщо Р(x) не ділиться на Q(x) без залишку, то ділення можна продовжувати нескінченно. У частці один за іншим будуть одержуватись члени
|
D0+D1x+D2x2+D3x3+…+ Dnxn+… |
Розглянемо послідовність
|
U1=D0, u1=D1, .,un=Dn-1, . |
(9) |
і доведемо, що вона є зворотною послідовністю порядку k. Для цього зафіксуємо довільне натуральне число n, яке задовольняє рівняння n³k+1 — зупинимося в процесі поділу на члені частки, що має xn+k. Тоді в залишку вийде деякий многочлен R(х), що містить х у ступенях вище ніж n+k. Записуючи співвідношення між діленим і дільником, часткою й залишком отримаємо наступну тотожність:
|
A0+…Alxl=(B0+…+Bkxk)(D0+…+Dn+kxn+k)+ R(х) |
Знайдемо коефіцієнти при xn+k у лівій та правій частині цього рівняння і прирівняємо їх між собою. Так як n+k³l+1, то коефіцієнти при xn+k у лівій частині рівні нулю. Тому повинен дорівнювати нулю і коефіцієнт при xn+k у правій частині. Проте члени з xn+k входять тільки в добуток (B0+…+Bkxk)(D0+…+Dn+kxn+k). Тому шуканий коефіцієнт є
|
Dn+k B0+Dn+k-1B1+ .+ DnBk=0 |
Звідси
|
|
(n³l-k+1).Це — зворотне рівняння порядку k, звідки і випливає, що послідовність (9) зворотна послідовність порядку k.
Одне з питань, що стосується арифметичної й геометричної прогресій, а також послідовностей квадратів натуральних чисел – це відшукування суми n членів кожної з цих послідовностей.
Нехай
|
u1,u2,u3,…un,…, |
(10) |
Зворотна послідовність порядку k, члени якої задовольняють рівняння
|
un+k=a1un+k-1+a2un+k-2+…+akun (n³m) |
(11) |
Розглянемо нову послідовність, утворена сумами sn чисел (10)
|
sn=u1, s2=u1+u2,…sn=u1+u2+…+un |
і покажемо, що ця послідовність сум є також зворотною послідовністю, порядку k+1, причому її члени задовольняють рівняння
|
sn+k+1=(1+a1)sn+k+(a2-a1)sn+k-1+…(ak-ak-1)sn+1-aksn |
Для доведення слід відмітити, що
|
u1=s1, u2=s2-u1=s2-s1,…,un=sn-(un+…+un-1)=sn-sn-1,… |
Покладаючи, що s0=0, так, що u1=s1-s0, підставляючи в рівняння (11) замість u1,u2,u3,…un,…, їх значення через s0, s1, .,sn…,отримаємо
|
sn+k-sn+k-1=a1(sn+k-1-sn+k-2)+a2(sn+k-2-sn+k-3)+…+ak(sn-sn-1) |
звідки
|
sn+k=(a1+1)sn+k-1+(a2-a1)sn+k-2+…+(ak-ak-1)sn-aksn-1 (n³m) |
або, замінюючи тут n на n+1:
|
sn+k+1=(a1+1)sn+k+(a2-a1)sn+k-1+…+(ak-ak-1)sn+1-aksn (n³m-1) |
Це зворотнеє рівняння порядку k+1.
Для прикладу
1. Геометрична прогресія. В даному випадку un=aqn-1 і sn=u1+u2+…+un=a+aq+…+aqn-1. Оскільки члени {un} задовольнять рівняння виду un+1=qun, то члени {un}повинні задовольняти рівняння
|
sn+2=(q+1)sn+1-qsn |
2. Послідовність квадратів натуральних чисел. Маємо un=an і sn=12+22+…n2. Оскільки члени {un} задовольняють рівняння
|
un+3=3un+2-3un+1+un |
то члени {sn} задовольняють рівняння
|
sn+4=4sn+3‑6sn+2+4sn+1‑sn |
(29) |
3. Числа Фібоначчі. Так як вони задовольняють рівняння
|
un+2=un+1+un |
(14) |
то відповідно їхні суми повинні задовольняти рівняння
|
sn+3=2sn+2‑sn |
(29) |
У випадку найпростіших зворотних послідовностей, наприклад арифметичної й геометричної прогресій, послідовностей квадратів або кубів натуральних чисел, а також періодичної послідовності, ми можемо знаходити будь-який член послідовності, не звертаючись до обчислення попередніх членів. У випадку ж послідовності чисел Фібоначчі доволі складно обчислити довільний її член.
Можна вивести формули, які дозволять знайти будь-який член, не обраховуючи попередніх. Розглянемо структуру зворотної послідовності. Отже, нехай
|
un+k=a1un+k-1+a2un+k-2+…+akun |
(12) |
Завантажити реферат